Calculer un produit en croix.
Remplissez trois cases du tableau de proportionnalité : l'outil trouve la quatrième et détaille le calcul.
Outil gratuit
Calculer un produit en croix
Remplissez trois cases du tableau de proportionnalité et laissez vide celle à trouver.
Le produit en croix sert à trouver la quatrième valeur d’un tableau de proportionnalité quand on en connaît trois : on multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par le troisième. Par exemple, si 4 personnes utilisent 250 g de farine, 6 personnes en utilisent 250 × 6 ÷ 4 = 375 g. Saisissez vos trois valeurs dans la calculatrice ci-dessus : elle calcule la quatrième proportionnelle et affiche le détail du calcul.
La méthode est rapide, mais elle ne marche que si la situation est vraiment proportionnelle. Voici comment l’appliquer pas à pas, comment vérifier qu’on a le droit de l’utiliser, des exemples corrigés (recette, prix au kilo, vitesse, échelle, pourcentage) et les erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies.
- Comment utiliser la calculatrice de produit en croix ?
- Qu’est-ce que le produit en croix ?
- Quand a-t-on le droit d’utiliser le produit en croix ?
- Comment faire un calcul en produit en croix, étape par étape ?
- Exemples corrigés : recette, prix, vitesse, échelle
- Comment faire un produit en croix avec un pourcentage ?
- Pourquoi le produit en croix fonctionne-t-il ?
- Les erreurs à éviter
- Questions fréquentes
- Sources
Comment utiliser la calculatrice de produit en croix ?
L’outil se présente comme un tableau de proportionnalité de deux lignes et deux colonnes.
- Remplissez trois cases avec les valeurs connues. La case vide sera l’inconnue : elle peut se trouver n’importe où dans le tableau.
- Les nombres décimaux sont acceptés, avec une virgule ou un point : « 2,5 » et « 2.5 » donnent le même résultat.
- L’outil calcule la quatrième proportionnelle et affiche le détail : la multiplication en croix, puis la division.
- Si le calcul demande de diviser par zéro, l’outil refuse et l’indique par un message, car ce calcul n’a pas de sens.
La calculatrice fait partie de nos outils gratuits, avec un outil de division euclidienne et un calcul de moyenne avec coefficients.
Qu’est-ce que le produit en croix ?
Produit en croix : technique de calcul qui permet de trouver la quatrième proportionnelle, c’est-à-dire le nombre manquant dans un tableau de proportionnalité à quatre cases. On l’appelle aussi « règle de trois », parce qu’on part de trois valeurs connues.
Dans un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Prenons un tableau où l’inconnue est notée x :
| Grandeur 1 | a | c |
|---|---|---|
| Grandeur 2 | b | x |
Le produit en croix donne x = b × c ÷ a. On multiplie les deux nombres qui se font face en diagonale (b et c), puis on divise par le nombre restant (a), celui qui est en diagonale de l’inconnue. Il faut évidemment que a soit différent de zéro.
Au collège, le programme de mathématiques du cycle 4 inscrit en quatrième l’objectif « Déterminer une quatrième proportionnelle », à côté du calcul avec des pourcentages et des grandeurs quotients comme la vitesse.
Quand a-t-on le droit d’utiliser le produit en croix ?
Uniquement quand les deux grandeurs sont proportionnelles : si l’une double, l’autre double aussi, et si l’une vaut zéro, l’autre vaut zéro. C’est le cas d’un prix payé au poids, d’une distance parcourue à vitesse constante, des quantités d’une recette ou des distances sur une carte.
Beaucoup de situations ressemblent à de la proportionnalité sans en être. Dans ces cas, le produit en croix donne un résultat faux :
- Un taxi avec prise en charge : avec 4 € de prise en charge et 2 € par kilomètre, 5 km coûtent 14 € mais 10 km coûtent 24 €, pas 28 €. Le prix ne double pas quand la distance double.
- L’aire d’un carré : un carré de 2 cm de côté a une aire de 4 cm², un carré de 4 cm de côté a une aire de 16 cm², pas 8 cm².
- L’âge et la taille : la taille d’un enfant ne double pas quand son âge double.
Pour vérifier un tableau déjà rempli, calculez le quotient de chaque colonne : s’il est le même partout, le tableau est un tableau de proportionnalité.
Comment faire un calcul en produit en croix, étape par étape ?
- Vérifiez la proportionnalité : posez-vous la question « si je double l’une, est-ce que l’autre double ? ».
- Construisez le tableau : une ligne par grandeur, avec la même unité sur toute la ligne (des minutes avec des minutes, des grammes avec des grammes).
- Repérez la diagonale complète : les deux valeurs connues qui ne sont ni sur la ligne ni dans la colonne de l’inconnue.
- Multipliez ces deux valeurs.
- Divisez par la troisième valeur, celle qui est en diagonale de l’inconnue.
- Vérifiez l’ordre de grandeur : si la quantité de départ augmente, le résultat doit augmenter aussi.
La règle de trois classique passe par l’unité, ce qui revient au même. Avec la recette : 250 g pour 4 personnes, donc 250 ÷ 4 = 62,5 g par personne, donc 62,5 × 6 = 375 g pour 6 personnes. Le produit en croix fait les deux opérations d’un coup, et évite d’arrondir en cours de route quand la division ne tombe pas juste.
Exemples corrigés : recette, prix, vitesse, échelle
Adapter une recette
| Nombre de personnes | 4 | 6 |
|---|---|---|
| Farine (g) | 250 | x |
x = 250 × 6 ÷ 4 = 1 500 ÷ 4 = 375 g de farine.
Calculer un prix au kilo
1,5 kg de pommes coûtent 4,20 €. Combien coûtent 2,5 kg au même prix au kilo ?
| Masse (kg) | 1,5 | 2,5 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 4,20 | x |
x = 4,20 × 2,5 ÷ 1,5 = 10,50 ÷ 1,5 = 7,00 €. Le prix au kilo est 4,20 ÷ 1,5 = 2,80 €, et 2,80 × 2,5 donne bien 7,00 €.
Utiliser une vitesse constante
Un train parcourt 90 km en 1 h 15 à vitesse constante. Quelle distance parcourt-il en 40 minutes ? Il faut d’abord convertir : 1 h 15 = 75 minutes.
| Durée (min) | 75 | 40 |
|---|---|---|
| Distance (km) | 90 | x |
x = 90 × 40 ÷ 75 = 3 600 ÷ 75 = 48 km. Attention : 1 h 15 vaut 1,25 h, pas 1,15 h. Écrire 1,15 dans le tableau aurait faussé le résultat.
Lire une échelle de carte
Sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm dans la réalité. Deux villages sont séparés de 4,6 cm sur la carte.
| Distance sur la carte (cm) | 1 | 4,6 |
|---|---|---|
| Distance réelle (cm) | 25 000 | x |
x = 25 000 × 4,6 ÷ 1 = 115 000 cm, soit 1 150 m ou 1,15 km.
Comment faire un produit en croix avec un pourcentage ?
Un pourcentage est une proportion rapportée à 100 : on met donc 100 dans le tableau, en face du total. Le produit en croix sert dans les deux sens.
- Trouver un pourcentage : 18 élèves sur 24 ont rendu le devoir. Tableau : 24 pour 100, 18 pour x. x = 18 × 100 ÷ 24 = 75 %.
- Appliquer un pourcentage : 15 % d’un article à 80 €. Tableau : 100 pour 80, 15 pour x. x = 80 × 15 ÷ 100 = 12 €.
- Retrouver une valeur de départ : un prix TTC de 54 € avec une TVA à 20 %. Le prix HT correspond à 100, le prix TTC à 120. x = 54 × 100 ÷ 120 = 45 € HT.
Ce dernier cas piège souvent : retirer 20 % de 54 € donne 43,20 €, ce qui est faux, car les 20 % portent sur le prix HT, pas sur le prix TTC. Notre article sur le calcul HT TTC détaille les formules pour chaque taux de TVA.
Pourquoi le produit en croix fonctionne-t-il ?
Dans un tableau de proportionnalité, les quotients de chaque colonne sont égaux : b ÷ a = x ÷ c. Or deux fractions sont égales si et seulement si leurs produits en croix sont égaux (avec des dénominateurs non nuls) :
Égalité des produits en croix : pour a et c différents de zéro, b ÷ a = x ÷ c équivaut à a × x = b × c.
De a × x = b × c, on tire x = b × c ÷ a. C’est exactement la formule appliquée par la calculatrice. Cette égalité sert aussi à vérifier : dans l’exemple de la recette, 4 × 375 = 1 500 et 250 × 6 = 1 500, les deux produits sont égaux, le résultat est juste.
Les erreurs à éviter
- Appliquer le produit en croix à une situation non proportionnelle : taxi, forfait, aire, tarif dégressif. Le calcul tourne, mais le résultat est faux.
- Se tromper de diagonale : on multiplie les deux valeurs connues en diagonale, jamais la valeur qui est sur la même ligne que l’inconnue avec celle qui est dans sa colonne.
- Mélanger les unités : des heures avec des minutes, des kilos avec des grammes. Convertissez avant de remplir le tableau.
- Arrondir trop tôt : gardez les valeurs exactes jusqu’au résultat final, puis arrondissez une seule fois.
Questions fréquentes
C’est quoi la différence entre produit en croix et règle de trois ?
Les deux donnent le même résultat. La règle de trois passe souvent par l’unité (le prix d’un kilo, la quantité pour une personne), le produit en croix fait la multiplication et la division d’un coup.
Comment savoir quels nombres multiplier dans un produit en croix ?
Ceux qui sont en diagonale l’un de l’autre et qui sont tous les deux connus. On divise ensuite par le nombre qui est en diagonale de l’inconnue.
Pourquoi la calculatrice refuse-t-elle mon calcul ?
Le plus souvent parce que la valeur par laquelle il faudrait diviser vaut zéro. Diviser par zéro est impossible : l’outil l’indique par un message.
On apprend le produit en croix en quelle classe ?
Le nouveau programme du cycle 4 place « Déterminer une quatrième proportionnelle » en quatrième. Dès la cinquième, il fait reconnaître les situations de proportionnalité et les résoudre par d’autres procédures, comme le retour à l’unité.
Comment calculer un pourcentage avec un produit en croix ?
Mettez le total en face de 100 et la partie en face de l’inconnue. Pour 18 sur 24 : 18 × 100 ÷ 24 = 75 %.
Sources
Pour aller plus loin
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